МУ 5105: ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Лабораторная работа 3-13: ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Цель работы: определение собственных частот струны; исследование зависимости скорости распространения поперечных колебаний в струне от ее натяжения; наблюдение формы собственных колебаний струны при фиксированном ее натяжении.

Приборы и принадлежности: закрепленная на штативе струна, устройство для натяжения струны, генератор электрических сигналов ГСФ-1, постоянный магнит, масштабная линейка.

Элементы теории и метод эксперимента

Струной в акустике называют тонкую гибкую нить, в которой с помощью внешних сил создается натяжение. Под это определение подходят не только струны музыкальных инструментов, но и натянутый шнур, трос, резиновый жгут и т.д. При исследовании струн главный интерес представляет изучение распространения поперечных упругих волн.

Рассмотрим струну, натянутую между двумя точками (закрепленную на концах). Пусть ось X совпадает с осью струны при равновесии и частицы струны смещаются только в плоскости XY (рис. 1).

Рис.1

Выделим элемент струны x, смещенный в результате поперечных колебаний от равновесного положения струны. На рисунке T₀ – натяжение струны, x и x  x – углы между направлением касательной к струне в точках x, xx и осью X.

Движение центра тяжести выделенного элемента струны описывается II законом Ньютона, который в проекции на ось Y имеет вид:

                                        ma T_y  ₀sin  x       x T             ₀sinx,     (1)

где m – масса элемента струны, a_y – проекция ускорения центра тяжести на ось Y.

Заменив m S x ( – плотность материала струны, S – площадь ее поперечного сечения), с учетом того, что a_y  ²yt² , получим:

^2y

                            S x t2 T₀_sinx x sinx_.                (2)

_

Предположим, что смещения y x t ,  настолько малы, что с достаточным приближением можно считать:

1. натяжение T₀ не зависит от частоты колебаний и равно натяжению в равновесном состоянии;
2. при малых углах sin  tg     y x.

Тогда выражение (2) примет вид:

                   S x2t₂y T₀yx_{x x} yx_x .    (3)

 

Разделив выражение (3) на  S x и сделав предельный переход при  x 0, получим волновое уравнение

 2t2y x2y2 2 x2y2 . (4)         

Здесь T S₀ – механическое напряжение, а   – скорость распространения поперечных волн в струне.

Приняв за начало координат одну из точек закрепления и направив ось X вдоль струны, запишем решение уравнения (4) в виде

                                             y x t ,   Asinkxsint ,                                 (5)

где A – постоянная величина, определяющая амплитуду колебаний; k 2 – волновое число (λ – длина волны); ω – циклическая частота.

Данное уравнение описывает стоячие волны. Стоячая волна обладает той особенностью, что все точки струны колеблются одновременно, хотя и с различными амплитудами.

                Из    уравнения    (5)    следует,    что    амплитудный    множитель

A kxsin  Asin 2  x  достигает максимального значения в точках

                                  xпучн m 12 2 m  0,1,2,…,                      (6)



называемых пучностями стоячей волны.

Точки, в которых амплитуда колебаний обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Для них

                                           x_узл  m^ m  0,1,2,… .                                (7)

2

Так как узлы все время остаются в покое, то переноса энергии по струне не происходит. Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулами (6) или (7). Их этих формул также следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно  / 2.

Поскольку струна закреплена на концах, в ней возбуждаются колебания таких частот, при которых на длине l струны укладывается целое число полуволн (рис. 2). Отсюда

                                  l  n^n  или  _n 2l   (n 1,2,3,…).

                                                               2                     n

Учитывая связь скорости распространения колебаний с частотой и длиной волны , получаем:

n

                                                             _n .                                                 (8)

2l

Рис. 2

Таким образом, при возбуждении поперечных колебаний струны на ней формируется стоячая волна вида

                              y_nx t,   A_nsin^_ ^_lⁿ x^_sin2_nt ,                  (9)

_

где A_n – амплитуда колебаний струны в центре пучностей. 

Скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны определяется по формуле

                                                         2 T0 ,                                            (10)

 d 

где d – диаметр струны.

Подставляя значение скорости в формулу (8), получаем окончательное выражение для собственных частот колебаний струны:

                                                                                                n     T⁰ .                                           (11)

                                                         _n

ld 

Самая низкая собственная частота ν₁ (n=1) называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные ν₁, называются обертонами или гармониками. В общем случае в струне могут установиться одновременно колебания самих различных частот, но кратные основной частоте.

Описание экспериментального макета

На риc. 3 представлена схема экспериментальной установки.

Рис. 3

Один конец металлической струны прикреплен к рычагу (точка A), создающему натяжение. Другой конец струны закреплен неподвижно в точке B. Силу натяжения струны можно задать с помощью противовеса, передвигая шайбу m по градуированному стержню. Вдоль струны, по подставке, на которой она укреплена, может свободно перемещаться магнит. От генератора электрических колебаний на струну подается переменное напряжение. Участок струны с текущим по нему переменным током попадает в поле постоянного магнита, в котором возникает периодическая сила Ампера, приложенная к струне. Частота изменения этой силы равна частоте переменного тока. В том случае, когда частота генератора будет совпадать с одной из собственных частот струны, а положение полюсов магнита – c пучностью стоячей волны, соответствующей данной частоте, наблюдается явление резонанса: на струне устанавливается стоячая волна.

В работе используется функциональный генератор ГСФ-1, формирующий электрические колебания различной формы в диапазоне частот 1 – 10000 Гц. Установка частоты производится ручкой плавной регулировки и кнопками множителя частоты «x3», «x10» и «x100». Шкала ручки регулировки частоты проградуирована в безразмерных единицах от 1 до 4. Показания шкалы, умноженные на множители всех нажатых кнопок, дадут приближенное значение частоты. Более точно частота определяется по цифровому индикатору частотомера.

Порядок выполнения работы

1. Подготовить установку к работе. Для этого проверить положения ручек и переключателей на лицевой панели генератора: все кнопки отжаты, ручки «ЧАСТОТА», «T+/T» и «УРОВЕНЬ» установлены в среднее положение.
2. Включить генератор в сеть, прогреть 3 – 5 минут.
3. Создать натяжение в струне с помощью противовеса. Минимальное натяжение T₀ = 2 Н создается при крайнем левом положении шайбы (см. рис. 3). Смещение шайбы на одно деление шкалы соответствует изменению натяжения на T = 1 Н.
4. Установив магнит посередине струны и плавно изменяя частоту генератора в диапазоне 50 – 100 Гц, добиться устойчивых колебаний основного тона. Если амплитуда колебаний очень мала, то следует увеличить выходное напряжение генератора ручкой «УРОВЕНЬ».
5. Передвигая магнит в места предполагаемых пучностей, получить устойчивые колебания гармоник высших порядков (n = 2, 3, 4), учи-

тывая кратность их собственных частот частоте основного тона.

• Записать в таблицу (см. приложение) значения частот генератора, при которых на струне устанавливаются стоячие волны.
• Изменить первоначальное натяжение струны. В результате изменятся скорость распространения поперечных колебаний и набор собственных частот. Повторить измерения согласно пп. 3 – 6 при других натяжениях струны.
• По формуле (11) рассчитать собственные частоты колебаний струны при различных ее натяжениях. Значения диаметра и плотности материала струны даны на рабочем месте. Длину активной части струны нужно измерить с помощью масштабной линейки, закрепленной на основании установки. Занести результаты в таблицу и сопоставить их со значениями, полученными на опыте.
• По экспериментальным данным рассчитать скорость распространения поперечных колебаний для каждого натяжения струны, используя формулу (8). Сравнить экспериментальные значения скорости со значениями, рассчитанными по формуле (10).
• Оценить абсолютную и относительную погрешность измерений.
• По полученным данным построить график зависимости скорости распространения колебаний основного тона от натяжения струны. На этом же чертеже построить график теоретической зависимости скорости от натяжения.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Вывести волновое уравнение для поперечных волн в струне. От чего зависит скорость распространения волн?
2. При каких условиях образуется стоячая волна на струне? Что такое собственные колебания?
3. Получить уравнение стоячей волны. Что такое узлы и пучности стоячей волны? Чем отличается стоячая волна от бегущей?
4. Как вычислить собственные частоты колебаний струны?
5. Объяснить методику эксперимента. Как экспериментально определить скорость распространения поперечных волн в струне?

Библиографический список

1. Савельев И.В. Курс физики: учебник. Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика.  Т. 2. М.: Лань, 2008, отдельное издание, 480 с.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учеб. пособие для вузов. М.: Академия, 2009. 8-е изд., стереотип. 720 с.
3. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики: учебное пособие. Т. 1. М.: Дрофа, 2001. 531 с.

Приложение

		Собственная частота n, Гц	Скорость распространения поперечных колебаний , м/с
Эксперимент	Расчет по формуле (11)	Эксперимент	Расчет по формуле (10)
	1
2
3
4
	1
2
3
4
	1
2
3
4

---

УДК 621.384.8 

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса:

методические указания к лабораторной работе / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; cост.: М.А. Буробин, В.В. Иванов. Рязань, 2017. 8 с.

Содержат элементы теории поперечных колебаний струны, описан метод определения собственных частот колебаний и скорости их распространения.

Предназначены для студентов всех направлений подготовки бакалавров и специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 3. Библиогр.: 3 назв.

Колебания, волновое уравнение, стоячая волна, поперечные колебания, частота колебаний, гармоники, скорость распространения колебаний

Печатается  по  решению  редакционно-издательского  совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ

(зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса 

Составители: Буробин  Михаил Анатольевич Иванов  Владимир Васильевич

Редактор М.Е. Цветкова

Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 10.02.17. Формат бумаги 60×84 1/16.

Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТУ.