Лабораторная работа 3-3: Изучение дифракции от щели

Цель работы: ознакомиться с основными понятиями теории дифракции и способами её наблюдения, пронаблюдать и применить явление дифракции Фраунгофера от прямоугольной щели для определения длин волн излучения источника света. 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА

Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых при распространении волн в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонением от законов геометрической оптики. 

При дифракции, так же как и при интерференции, наблюдается перераспределение светового потока при наложении когерентных волн. Дифракционные эффекты существенны, если длина волны λ сопоставима с размером b препятствия. В этом случае сохраняют силу такие понятия, как волновая поверхность и волновой фронт. При λ>>b или b дифракционные эффекты несущественны. 

Расчет интенсивности дифракционной картины осуществляют с использованием принципа Гюйгенса — Френеля: Каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических волн, суперпозиция которых определяет интенсивность света в заданной точке. Наиболее наглядно задача дифракции решается разбиением волновой поверхности на кольцевые участки (зоны Френеля). Расстояние от соседних зон до точки наблюдения P отличается на половину длины волны /2. При соблюдении этого условия колебания, приходящие в точку Р , находятся в противофазе и  гасят друг друга. Элементарный расчёт показывает, что при разбиении сферического волнового фронта на зоны Френеля площади всех зон с точностью до (/2)² одинаковы 1. Амплитуда колебаний А в точке Р равна сумме колебаний от всех зон Френеля =А₁ — А₂ + А₃ — А₄ +…, т.е. образует знакопеременный ряд, члены которого монотонно убывают при увеличении номера зоны. Изменение знака членов ряда обусловлено изменением фазы колебаний между чётными и нечётными зонами на величину . Уменьшение амплитуды А_m с ростом номера зоны m, согласно предположению Френеля, связано с уменьшением вклада колебаний поля световой волны в точке наблюдения Р, приходящих от зон, которые дальше отстоят от центральной зоны. При полностью открытом волновом фронте выражение для амплитуды А можно представить в виде 

А=А₁/2+(А₁/2-А₂+А₃/2)+(А₃/2-А₄+А₅/2)+… 

Сумма членов в скобках приблизительно равна нулю, поэтому А=А₁/2. Если круглое отверстие открывает m зон Френеля, то А=А₁/2-А_m/2 при чётном m и А=А₁/2+А_m/2 при нечётном m. Радиус m-й зоны определяется формулой

[1]: 

r_m= a1a2m ,  a1 a2

где a₁ – расстояние от точечного источника до центральной зоны, a₂ – расстояние от центральной зоны до точки Р.

Условием наблюдения дифракции является сравнимость размеров препятствия на пути световой волны с размерами первой зоны Френеля. Если в пределах препятствия укладывается относительно небольшое число зон Френеля, то это является необходимым и достаточным условием получения дифракционной картины.

Различают две области наблюдения дифракции: область дифракции Френеля и область дифракции Фраунгофера. Дифракция Френеля наблюдается в ближней зоне, то есть при таком расстоянии от препятствия b до точки наблюдения Р, когда характерный размер препятствия

r₁= ^a1a2 . Если фронт падающей на препятствие световой волны a1a2

является плоским, что соответствует a₁, то область дифракции Фраунгофера начинается при 

a₂^2 .  



Выполнение этого условия означает, что при удалении экрана, на котором наблюдается дифракция, на расстояние, большее чем a₂, в характерном размере препятствия  укладывается меньше одной зоны Френеля. Дифракционная картина при этом образуется в результате суперпозиции практически плоских (квазиплоских) волн, приходящих в область наблюдения под различными углами.

Рассмотрим дифракцию плоской волны на узкой и бесконечно длинной щели, образованной двумя непрозрачными экранами, расстояние между которыми равно b (рис. 1).

Рис. 1

Согласно условиям дифракции Фраунгофера [1] дифракционная картина наблюдается на экране, при его достаточно большом удалении от щели. Поэтому точка наблюдения Р настолько удалена от щели, что лучи, идущие от неё под углом дифракции  и сходящиеся в точке наблюдения Р, практически могут считаться параллельными. Математически задача дифракции в этом случае решается как дифракция плоских волн. Суперпозиция этих волн, распространяющихся под различными углами , образует на экране дифракционную картину. Дифракция плоских волн может наблюдаться и на небольшом расстоянии от щели, если после щели поместить собирающую линзу, в фокальной плоскости находится экран (рис. 1). Излучение точечного источника  превращается линзой Л₁ (роль этой линзы на рис. 4 выполняет коллиматор 3) в плоскую волну, которая проходит через щель Щ. Линза Л₂ собирает в различных участках своей фокальной плоскости все лучи, прошедшие через щель, в том числе и отклонившиеся на угол  от первоначального направления.

Найдём распределение интенсивности света в дифракционной картине на экране Э. Выделим элементарную полоску шириной dx, расположенную на расстоянии x от края щели (см. рис. 2), т.е. от точки 0. Каж-

дая     полоска     в     плоскости    щели     создаёт    поле     световой    волны

dE₀ cdxcost , где с – постоянная величина,  – частота.

Рис. 2

                  Если амплитуду световой волны, падающей на щель обозначить

b

Е0 то очевидно, что _{E0 }_cdxcb . Следовательно, 

0

                                         E⁰                              .                                     (1)

^dE₀  dxcost

b

Участок щели dx посылает в направлении, определяемом углом , плоскую волну с запаздыванием по фазе на kkxsin относительно левого края щели, т.е.

                                        E⁰                                                            ,                   (2)

^dE_ cos(t  kxsin)dx b

k=2/ – волновое число.

Вследствие когерентности возмущений от всех полосок нахождение результирующей амплитуды в произвольной точке Р сводится к решению задачи интерференции, т.е. сложению колебаний от всех полосок с учётом амплитуды и фазы. Отметим, что линза Л (рис. 2) дополнительной разности фаз не вносит. Проинтегрируем выражение (2) по всей ширине щели от 0 до b:

sinkb

        b                  b                                                                                  sin

                          E0 cos(t kxsin)dx  E0cost  kbsin . (3)

E dE  b                                                          2       

        0                  0

Амплитуда результирующей волны в точке Р определяется членами не зависящим от времени в выражении (3), т.е.

sinkbsin

                          _EP _E0                2_kb          .                                   (4)

2

Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы имеет вид:

sin2kbsin

                            _I_{ I}0                        22                   .                       (5)

kbsin (kbsin)2

                                         2            2

Из выражения (5) следует, что при  ^kbsin^bsinn,                           (6)

                               2            

где n=1, 2, 3, …, освещённость равна нулю. 

Условие 

bsinn                                (7)

определяет угловое положение минимумов при дифракции Фраунгофера на щели.

2

График функции вида I  I0 sinuu , где ubsin  , по-

казан на рис. 3. Как следует из формулы (5), максимальные значения интенсивности света быстро убывают с увеличением угла дифракции . Расчёт по формуле (5) показывает, что соотношение максимумов интенсивности разных порядков имеет вид:

I₀ :I₁ :I₂ 1:0,047:0,017. 

Рис. 3

Следовательно, основной световой поток сконцентрирован в пределах центрального дифракционного максимума, определяемого значениями 

 .                                             (8)

_sin_ b

При малых углах дифракции координата x_m, определяющая положение на экране минимума интенсивности света (тёмной полосы) m-го порядка, мо-

жет быть найдена из формулы (7) при _{sintg} ^xm , т.е. 

F

mF .                                              (9)

_xm

b

Ширина центрального дифракционного максимума, как следует из соотношения (9), может быть рассчитана по формуле: 

_0 2F .                                       (10)

b

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Схема установки показана на рис. 4, где 1 и 2 – светоизлучающие диоды в красном и синем участках спектра, 3 – коллиматор, образующий параллельный пучок света, 4 – регулируемая по ширине щель, 5 – линза, 6 – окуляр-микрометр. Все элементы установки закреплены в оптических рейтерах 7, 8, 9, 10, 11 на скамье 12. 

Рис. 4

Внимание! Оптическая система настроена, и без разрешения преподавателя или лаборанта перемещать рейтеры, оптические элементы схемы и барабанчик 13 коллиматора нельзя. Подлежат регулировке только ширина щели с помощью барабанчика 14 и перемещения креста окуляр-микрометра вращением барабанчика 15.

ПРОВЕДЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ 

                1.    Включить источник питания светодиодов. Тумблер на рейтере

7 поставить в положение «красный»

• Установить с помощью барабанчи- ка 14 с нанесёнными на нём делениями минимальную ширину щели.
• Увеличивая ширину щели, получить дифракционную картину при наблюдении её через окуляр микрометра. Вид дифракционной картины в поле зрения окуляра показан на рис 5.
• Крест окуляр-микрометра, вращая  барабанчик 15, вывести в центр поля зрения.  

Рис. 5

Для удобства отсчётов совместить шкалу бара-

банчика 15 с нулевой отметкой.  С помощью винта 16 установить крест на центр полосы нулевого порядка.

• Измерить расстояние между линзой 5 и окуляр-микрометром 6, которое приблизительно равно фокусному расстоянию линзы F. Это расстояние указано на оправе линзы.
• Вращая барабанчик окуляр-микрометра, совместить перекрестие с полосами минимальной интенсивности первого, второго, третьего и т.д. порядка, насколько это позволяет дифракционная картина. Эти полосы расположены справа и слева от центральной полосы. Записать показания микрометра окуляра N₊^k и N_—^k для полос k-го порядка. Эти измерения повторить не менее трёх раз и свести в таблицу.
• Вычислить ширину щели b по формуле  

_bkF ,                                             (11) x

k

приняв длину волны красного светодиода 650 нм, где 

  x  Nk Nk 0,004мм,  k           2

если расстояние ^x_k между двумя симметрично расположенными тёмными полосами отсчитано в делениях барабана окуляр-микрометра, цена деления которого равна 0,004 мм а общее число делений равно 100. Обратить внимание на то, что при вращении барабана его шкала может перейти нулевую отметку. Поэтому к показаниям ^N_^k либо ^N_^k нужно прибавить x_k  (100n)0.004 мм, где n — число полных оборотов барабана после прохождения нулевой отметки. Один оборот барабана соответствует перемещению по неподвижной шкале микрометра на одно деление, т.е. на 0,4 мм. Изменяя ширину щели вращением барабана 14 с шагом 0,01 мм для пяти значений ширины щели b, отсчитанных по микрометрическому устройству, измерить ширину центрального дифракционного максимума ₀=x₁—x_-1, помещая перекрестие окуляр-микрометра на минимум интенсивности с правой и левой от него стороны. Результат измерений представить в виде графической зависимости ₀ от b.

Построить график теоретической зависимости ₀ от b, рассчитанной по формуле (10).

• Переключить тумблер на рейтере 7 в положение «синий». По указаниям пункта 6 измерить расстояния между полосами минимальной интенсивности наблюдаемой дифракционной картины, установив ширину щели в положение, найденное согласно пункту (7).
• По формуле (11) вычислить длину волны излучения синего светодиода.
• Оценить погрешности полученных результатов.
• Объяснить полученные результаты.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Объяснить явление дифракции света на основе принципа Гюйгенса — Френеля.
2. Сформулировать метод зон Френеля и вывести формулу для радиусов зон Френеля.
3. Объяснить различие между дифракцией Френеля и Фраунгофера.
4. Изобразить оптическую схему для наблюдения дифракции Фраунгофера и дать её обоснование.
5. Получить и проанализировать формулу для распределения интенсивности света в зависимости от угла дифракции при дифракции Фраунгофера на щели.
6. Объяснить вывод расчётных формул для ширины щели и для ширины центрального максимума.
7. На основе формул (8) и (9) оценить угол дифракционной расходимости  плоской световой волны в зависимости от длины волны  при её падении на щель шириной b.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК   

1. Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976. С. 172-179. 2. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. М.: Наука, 1988. С. 382-407.

---

УДК 535

Изучение дифракции Фраунгофера от щели: методические указания к лабораторной работе /Рязан. гос. радиотехн. ун-т.; сост.: А. П. Соколов, А. В. Николаев. Рязань, 2013. 8 с.

Изложены элементы теории и метод определения ширины щели и длины волны света с помощью дифракции Фраунгофера от одной щели. Описан порядок выполнения работы. Даны указания по обработке результатов эксперимента. Приведены вопросы для проверки знания и самоконтроля.

Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Физика». Ил. 5. Библиогр.: 2 назв.   

Зоны Френеля, щель, дифракция Фраунгофера, разность хода, светодиод, коллиматор, окуляр-микрометр

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ

(зав. кафедрой М. В. Дубков)

Изучение дифракции Фраунгофера от щели

Составители:  С о к о л о в  Александр Павлович

                                               Н и к о л а е в Артём Владимирович

Редактор Р. К. Мангутова

Корректор С. В. Макушина

Подписано в печать                    . Формат бумаги 60  84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

 Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТУ.