Связь теоремы Пифагора с законом косинусов

Введение

Одним из фундаментальных начал математики является возможность теоретического обобщения и поиска аналогий между понятиями, что позволяет связывать между собой различные части математических дисциплин. Необходимо понимать, что развитие математики длилось тысячелетия и всегда шло к усложнению имеющихся знаний: от простого арифметического счета для сельскохозяйственных целей первых людей до квантовых вычислений современной математики. Усложнение исходных представлений не всегда основано на популярном среди исследователей дедуктивном подходе, но может быть реализовано посредством индукции, как это было в случае с теоремой Пифагора. Утверждение тезиса состоит в том, что теорема Пифагора, хотя и является оригинальной концепцией, является лишь частным случаем теоремы косинусов, поскольку содержит те же идеи, только в усеченном виде, и позволяет определить сторону любой, не обязательно правой треугольник. Данное эссе призвано развить этот тезис и доказать его.

Теорема Пифагора: множественная история

Распространенное мнение о плагиате среди математических теорем можно справедливо экстраполировать на случай древнегреческого математика Пифагора. В шестом веке до нашей эры Пифагор развивал известные ранее понятия троек в прямоугольных треугольниках, таких значений сторон, которые удовлетворяли бы известным современному читателю положениям теоремы Пифагора. Использование корня суммы квадратов двух катетов было замечено еще четыре тысячи лет назад на древних вавилонских табличках, но они не получили столь широкого применения, пока Пифагор не обобщил их и не создал уравнение, позволяющее решить прямоугольный треугольник. (Касприк и Баррос 4). Маловероятно, однако, что Пифагор независимо приписал свое имя обобщённому им уравнению; точных доказательств этому нет. Тем не менее существует достаточное количество исторических записей, в том числе от имени древнегреческих мыслителей, которые сообщают о Пифагоре как об авторе этой концепции. Известно, что Пифагор в рамках своих исследований посетил территорию древнего Египта, жители которого уже использовали понятия египетского треугольника со сторонами 3, 4 и 5 за несколько сотен лет до рождения Пифагора (Абулфоту 15). . После возвращения Пифагор основал собственную математическую школу и начал преподавать знания, результаты которой были приписаны имени древнего грека (Грегерсена). Таким образом, доподлинно неизвестно, был ли Пифагор настоящим автором этой теоремы или он вообще не имел к ней никакого отношения.

Что известно наверняка, так это то, что Пифагор не использовал тригонометрические соотношения для решения прямоугольных треугольников. Первые упоминания и, следовательно, использование косинусов, синусов и тангенсов не были предложены до шестого века, то есть почти через тысячу лет после смерти Пифагора (Мерле 2). Другими словами, древнегреческий исследователь определенно не мог использовать тригонометрические функции в современном смысле для решения прямоугольных треугольников. На этом основании естественно предположить, что Пифагор создал теорему, которую следует считать уникальной и первостепенной, и с течением времени к ней стали добавляться надстройки, в том числе и теорема косинусов. Произошло ровно обратное — теорема, созданная Пифагором, была не обобщающей теоремой, а лишь частным случаем теоремы косинусов, который можно доказать математически.

Теорема Пифагора: математическое описание

Согласно классической интерпретации теоремы Пифагора, гипотезу треугольника можно вычислить как корень суммы квадратов двух катетов, как показано в уравнении (1). Чтобы сторона называлась гипотенузой, необходимо выполнение как минимум двух условий. Во-первых, это должна быть самая длинная сторона прямоугольной стороны, а во-вторых, эта сторона должна лежать напротив угла 90°; только при выполнении этих двух условий сторона может называться гипотенузой и вычисляться по теореме Пифагора (1). Примечательно, что теорему Пифагора можно применить к прямоугольному треугольнику любого типа, независимо от длин катетов и гипотенузы. Нет ограничений и на целые значения: то есть для любых двух катетов в прямоугольном треугольнике можно определить значения их гипотенузы, даже если она не является целым числом. Например, если для расчетов использовать (1), то для треугольника со сторонами √2 и сторонами √8, лежащими напротив угла 90°, гипотенуза равна √10.

в = √а² + b² (1)

Правда, теорему Пифагора можно использовать и другими способами, например, для определения значения катета, когда известно хотя бы одно значение катета и гипотенузы. В этом случае уравнение (1) преобразуется в уравнение (2). Строго говоря, корень уравнения (2.2) также должен быть отрицательным значением квадратного корня — так, для треугольника с катетом 2 и гипотенузой 4 значение второго катета может быть либо 2√3, либо -2√3. . Однако логически ясно, что отрицательных длин в геометрии нет, и по этой причине отрицательные корни традиционно опускаются при решении теоремы Пифагора.

с² = а² + b² (2)

→ c² – b² = a² (2.1)

→ ±√c² – b² = a (2,2)

Закон косинуса

Хотя теорема Пифагора была создана Пифагором в шестом веке до нашей эры, теорема или закон косинусов была разработана лишь почти 2200 лет спустя. Закон косинусов приписывают индийскому математику Джамшиду аль-Каши, который использовал треугольную форму записи для решения любого плоского треугольника, а не только прямоугольных треугольников (Бериша и Клинаку 383). Уравнение (3) показывает математическую запись этого закона: для вычисления любой из сторон необходимо знать значение двух других сторон и угол α между ними. Треугольник, изображенный на рисунке 1, не обязательно является прямоугольным и может быть представлен вообще любым плоским треугольником, от остроугольного до тупоугольного. Независимо от типа треугольника, к нему можно применить закон косинусов для вычисления неизвестной стороны. Например, как показано в уравнениях (4)-(4.4), для треугольника с двумя сторонами 2 и 2 и углом между ними 35° третья сторона меньше и равна 1,203. Понятие гипотенузы и катетов в данном случае уже неприменимо, поскольку треугольник не является прямоугольным.

c² = a² + b² – 2*a*b*cosα (3)

Рисунок 1. Схема любого треугольника.

с² = 2² +2² + 2*2*2*cos35° (4)

→ c² = 4 + 4 – 8 *cos35° (4,1)

→ c² = 8 – 8 *cos35° (4,2)

→ с² = 1,447 (4,3)

с = 1,203 (4,4)

Примечательно, что теорему косинусов можно применить и для нахождения неизвестного угла, но в этом случае, как следует из уравнения (3), необходимо знать все три стороны треугольника. Например, как показано в уравнении (5)-(5.6), для треугольника со сторонами 3, 5 и 3 угол между сторонами 3 и 3 равен 112,9°, поскольку остальные корни тригонометрического уравнения не удовлетворяют условию равенства 180° всех трёх углов внутри треугольника.

5² = 3² + ²3 -2*3*3*cosx (5)

→25 = 9 + 9 – 18*cosx (5.1)

→25 = 18 – 18*cosx (5,2)

→7 = – 18*cosx (5,3)

→7/- 18 = cosx (5.4)

→x = cos¯¹ (-7/18) (5,5)

→x = 112,9° (5,6)

Связь между теоремой Пифагора и законом косинусов

Как показано выше, теорема Пифагора используется для вычисления любой стороны прямоугольного треугольника, а теорема косинусов используется для вычисления сторон или углов в любом треугольнике вообще. Таким образом, объем обоих математических понятий является первым свидетельством обобщаемости закона косинусов. Однако на эту взаимосвязь можно посмотреть по-другому: в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами всегда равен 90°. Известно, что косинус этого угла равен нулю, а это значит, что в формулировке теоремы косинусов третье слагаемое суммы равно нулю. Таким образом, как показано в уравнениях (6)-(6.2), при прямом угле между сторонами теорема косинусов принимает форму теоремы Пифагора. Другими словами, теорема Пифагора на самом деле является частным случаем более обобщенного закона косинусов, несмотря на значительную разницу в возрасте между двумя понятиями.

c² = a²+ b² – 2*a*b*cos90° (6)

c² = a²+ b² – 2*a*b*0 (6.1)

с² = а²+ b² (6,2)

Аналогичная математическая работа выполняется для векторного исчисления на координатной плоскости. Согласно определению, разница между двумя векторами, определяемыми третьей стороной треугольника, равна корню суммы квадратов этих векторов минус удвоенное значение их произведения на косинус угла между ними, как показано в уравнении (7). Однако если угол между двумя векторами прямой, косинус снова обращается в нуль, что приводит к формулировке теоремы Пифагора в векторной форме, как показано в (7.1), что еще раз подтверждает связанную связь между теоремами.

Заключение

Подводя итог, можно сказать, что хотя теорема Пифагора является оригинальной концепцией предположительно древнегреческой математики, она представляет собой лишь частный случай более современного закона косинусов. В эссе показано, что теорема Пифагора имеет ряд ограничений, связанных с необходимостью прямого угла между катетами, тогда как теорема косинусов таких ограничений не имеет. Таким образом, теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам, а закон косинусов можно использовать для решения вообще любых плоских треугольников. Связь двух понятий основана на обобщении: в случае, когда угол между двумя сторонами равен 90°, закон косинусов превращается в теорему Пифагора.

Цитируемые работы

Абулфоту, Хосам. «Использование треугольника 6-8-10 в задачах землеустройства в математическом папирусе Ринда». Научная культура, вып. 5, нет. 3, 2019, стр. 13-17.

Бериша, Валбоне и Шукри Клинаку. «Закон косинусов и фактор Лоренца». Очерки физики, вып. 31, нет. 4, 2018, стр. 383-386.

Грегерсен, Эрик «Теорема Пифагора». Британика, 2020.

Касприк, Л.А. и А.С. Баррос. «Древняя месопотамская система измерения: возможные применения в преподавании математики и физики». Физический журнал: серия конференций, вып. 1512, нет. 1, 2020, стр. 1-10.

Мерле, Жан-Пьер. «Заметки об истории тригонометрических функций и замен». Труды ХММ.