Введение
Буксировочные испытания модели корабля представляют собой физическое моделирование, используемое для оценки аэродинамических свойств этого процесса. При реальной буксировке судно тянет другое судно, обычно судно, которому легче маневрировать и набирать скорость (Boat US, nd). В этом процессе аэродинамические характеристики буксировки приобретают повышенное значение, поскольку их использование в конструкции в конечном итоге определяет успех буксировки судна. Целью данной лабораторной работы является проведение испытаний модели корабля Sylender для сбора информации о его движении по воде и дальнейшего анализа этих данных. Непосредственный математический анализ включал такие процедуры, как дифференцирование и интегрирование функций скорости для определения ускорения и пути соответственно. Подставляя значения времени в найденные функции, можно было определить конкретные значения физических величин. Кроме того, в данной работе был проведен регрессионный анализ, результаты которого сравнивались с выходными данными Excel для проверки точности расчетов. Целью данного регрессионного анализа была проверка связи между скоростью как характеристикой буксировки судна и переменной R/V. Эта переменная определяет сопротивление тяге, деленное на скорость корабля, что позволяет определить, как зависят друг от друга процессы набора скорости и сопротивления. Не последним в этой работе был расчет отношения сигнал/шум (SNR), определяющего чувствительность передаваемого сигнала. В этом отчете последовательно описаны различные разделы математического анализа, предоставляющие ценные данные для дальнейшего проектирования буксира Sylender.
Экспериментальная процедура
Методологическая база, определенная путем проведения реального эксперимента, определяла ход данной работы. Для начала модель корабля Силендера была помещена в длинную лужу с водой. К передней части носовой части корабля был прикреплен трос, имитирующий буксирный трос в реальных условиях. Эта веревка заставляла Сайлендер двигаться вдоль бассейна с некоторой скоростью, и значения скорости каждый раз автоматически записывались в электронную таблицу. Всего было проведено пять испытаний, в каждом из которых повторялись одни и те же действия: цель такого повторения заключалась в том, чтобы свести к минимуму потенциальные ошибки и предоставить возможность дальнейшего выбора. Первый запуск Силендера посчитали наиболее удобным для математического анализа, что и было сделано. Данные были подвергнуты обрезке ненужных концов, поэтому конечная функция представляла только информативные значения. Все расчеты проводились либо вручную, как отражено в этом отчете, либо с помощью Excel.
Результаты и обсуждение
В ходе первой части анализа в данной статье необходимо было оценить фактическую зависимость скорости от времени при буксировке Силендера. Ранее обрезанные данные были нанесены на диаграмму рассеяния, которая показана на рисунке 1. На этом рисунке показано, что скорость плавно увеличивалась в течение первых 10–13 секунд, после чего она достигла почти горизонтальной линии. Это означало, что скорость примерно с 13-й секунды существенно не менялась и сохраняла некоторое постоянное значение. Примечательно, что эта функция хорошо описывается полиномом третьей степени, который является ее линией наилучшего соответствия. Коэффициент детерминации равен 0,9786, как показано на рисунке, что означает, что почти 98% дисперсии данных можно охватить построенной регрессией.
Рисунок 1. График зависимости скорости от времени для первого испытания.
Что ещё интереснее, предложенное уравнение регрессии можно рассматривать как реальную зависимость скорости от времени:
Отсюда следует, что между скоростью и временем существует кубическая, а не линейная зависимость, и что горизонтальная линия, на которой скорость меняется незначительно или вообще не изменяется, может быть плато. Для этой функции можно определить выражение для ускорения, которое можно найти, дифференцируя скорость:
Ускорение для Силендера в этом случае описывается параболической формой, ветви которой направлены вверх. Зная выражение для ускорения, мы всегда можем найти определенное ускорение для определенного времени. Предположим, что в момент времени t = 0 ускорение функции равно:
То есть в нулевой момент времени Силендер все еще набирал скорость. Функцию скорости также можно интегрировать, чтобы найти выражение для пройденного расстояния. Стоит отметить, что взятие интеграла от функции скорости подразумевает получение именно определенного интеграла, границы которого определены. В этом случае границы, определяемые временем, используются в качестве интервала для определения расстояния, которое Силендер преодолел за это время. Поскольку в тесте интересует общее расстояние, пройденное кораблем, предлагается оценивать его путь от минимального до максимального значений времени. В частности, от t = 0 до t = 22,76 секунды:
Это означает, что за истекшее время корабль Силендера преодолел расстояние, равное почти 11 метрам. Если предположить, что время испытаний для каждого из пяти запусков было одинаковым, и отвергнуть всякую возможность влияния внешних факторов на поведение функции скорости, то можно с осторожностью сказать, что в каждом из запусков корабль прошел расстояние, равное примерно до 11 метров. Конечно, это вовсе не точные значения, поскольку помимо округлений при расчетах существует явление статистической погрешности, связанное с неопределенностями измерений и внешними переменными.
Во второй части этого отчета требовался регрессионный анализ для оценки взаимосвязи между скоростью и R/V, значения которых показаны в Приложении А. Это потребует определения силы и направления взаимосвязи между переменными. Между ними подразумевается линейная зависимость, поэтому в момент времени V = 0 ожидается, что R/V будет равно нулю. Любые отклонения от этого значения будут соответствовать статистическим ошибкам и предположениям регрессионного анализа. Если бы связь между переменными была линейной, она описывалась бы уравнением:
Вместо коэффициентов градиента и пересечения оси y мы можем заменить формулы для их расчета:
Это означает, что между переменными существует положительная возрастающая связь. В этом случае коэффициенты, определяющие надежность регрессии:
Отсюда следует, что между переменными существует сильная положительная связь (r = 0,978), причем регрессионная модель способна объяснить почти 96% дисперсии в наборе данных. Сравнение рассчитанных значений с расчетами Excel дает представление о точности. На рисунке 2 показаны результаты этого анализа Excel. Мы видим, что значения практически такие же, как рассчитанные выше. Небольшое отклонение можно объяснить статистической погрешностью расчетов и округлением значений. Тогда в целом можно сделать вывод, что регрессионный анализ прошел успешно.
Рисунок 2. Регрессионный анализ данных с использованием Excel.
В третьей части данной работы необходимо было рассчитать коэффициент SNR, отвечающий за чистоту и чувствительность сигнала в телекоммуникациях. Для этого были выбраны пятибалльные значения из тех, которые имели показатель, близкий к максимальному. На рисунке 3 показаны эти выбранные точки. На рис. 4 показан расчет для них описательной статистики: среднего и стандартного отклонения. Если мы разделим первое на второе, мы увидим, во сколько раз среднее значение было больше стандартного отклонения. На языке телекоммуникаций это соотношение называется SNR.
Рисунок 3: Выбранные пятнадцать точек для расчета SNR Рисунок 4: Расчет описательной статистики
Тогда становится возможным определить ОСШ:
Это значение указывает на то, что сигнал достаточно сильный, чтобы его можно было использовать для передачи ценных данных. Строго говоря, SNR — это мера того, насколько хорошо полезная часть сигнала изолирована от внешнего шума. Это значение определяет, что данные будут минимально подвержены влиянию внешнего шума.
В последней части этого отчета необходимо было вычислить конкретные значения для заданной функции расстояния:
Зная эту функцию, мы можем определить пройденное расстояние за десять секунд:
Функцию также можно дифференцировать, чтобы найти выражение для скорости:
Шесть секунд спустя скорость составила:
В момент времени t = 1,88 с скорость была равна нулю:
Если еще раз продифференцировать функцию, то можно определить выражение для скорости:
Четыре секунды спустя:
В момент времени t = 0,5 с ускорение было равно нулю:
Заключение
В этом отчете был проведен математический анализ для расчета параметров буксировочного теста Силендера. Были сделаны следующие выводы:
-
Скорость нелинейно зависит от времени;
-
Регрессионный анализ показал высокую положительную корреляцию между V и R/V;
-
Уровень SNR был довольно высоким.
Ссылка
Лодка США. (н-й). Эксперт по буксировке рассказывает, почему лодки буксируют и что можно сделать, чтобы избежать таких распространенных ситуаций поломок. Веб.